מתמטיקה יסודית (מתמטיקה אלמנטרית)
מתמטיקה יסודית או לחלופין מתמטיקה אלמנטרית היא בניגוד לעמדה הרווחת המציגה אותה כ"פשוטה", תחום מורכב מאד המבוסס על הנושאים להלן; תחום זה כולל את האריתמטיקה, גאומטריה אלמנטרית, חישוב מתמטי אלמנטרי מנטלי, אוריינות סטטיסטית אלמנטרית ומונחים נלווים, כולם כתחום מתמטי הוליסטי המאפשר יסודות הבנה מתמטית הוליסטית.
- המושגים מרחב פיזיקלי ומישור מתמטי המהווה הפשטה של המרחב הפיזיקלי, למשל על דף נייר או מסמך ממוחשב עליו מבוצעת פעולה מתמטית, בין אם כדימוי של תהליך במרחב הפיזיקלי ובין אם כסתם פעולה מתמטית
- מושג אקסיומה
- מושג אלגוריתם (מושג זה משמש לתאר תרגיל מתמטי כמו גם מתכון, תווי מוזיקה, קוד מקור וכדומה)
- עבודה עם מספרים חיוביים פשוטים, תחילה עד 100 ובהמשך עד 1,000 אך ככלל לא יותר מ-10,000
- המושגים חיבור וחיסור
- מושג נעלם (כולל הביטויים X,Y,Z)
- המושגים כפל וחילוק, מכפלה, כפולה ומנה ← ללא שארית עדיין
- המונחים אופקי ואנכי
- דרכים לבצע חיבור וחיסור על דף נייר (לפחות אנכית)
- כפל כ "X פעמים Y" שווה כמה
- לוח הכפל
- התמצאות בלוח הכפל: נקודות עגינה לחיבור וחיסור לצורך חישוב מאשר זכירה אוטומטית (למשל, במקום 6 פעמים 5 לכדי 30, לבצע 5 פעמים 5 ועוד 5 ; או במקום 7 פעמים 9, לבצע 7 פעמים 10 פחות 7)
- חילוק כ "כמה פעמים נכנס X ב Y?"
- היפוכיות בחילוק (למשל, 8 חלקי 4 לכדי 2 או 8 חלקי 2 לכדי 4 כך ש-4 נכנס ב-8 פעמיים ו-2 נכנס ב-8 ארבע פעמים)
- דרכים לבצע כפל וחילוק על דף נייר ; מוטב ללמד עם מספרים שלמים ואינטואיטיביים
- דיון ראשוני על מה הוא שבר ("חלק מהשלם")
- שבר כפעולת חילוק ולא כתוצאת חילוק
- מונה ומכנה
- שברים אלמנטרים כמו חצי (כ 1/2), רבע (כ 1/4), שליש (כ 1/3), שני רבעים (כ 2/4) שלוש רבעים (כ 3/4) ; העובדה כי חצי הוא יותר משליש והועבדה כי שליש הוא יותר מרבע והעובדה כי שלוש רבעים הם יותר מחצי ; רביעית, חמישית, שישית, שביעית, שמינית ותשיעית
- שבר פשוט מדומה בו המונה גדול מהמכנה כמו 10/2 וכן שבר פשוט אמיתי בו המונה קטן מהמכנה כמו 6/12
- מושג קיזוז
- מושג מנה עם שארית
- שיטת מנייה עשרונית (כולל הבנת המונחים "עשרת", "חציית גבול העשרת", "נקודה עשרונית" ועיגול מספרים)
- הבנת המונחים עשירית, מאית, אחוז
- עלייה בכמות של יותר מ-100%: למשל, עלייה של 200%, שהיא עלייה של 100% + עלייה של 100%.
- איך לחשב מהו הערך האחוזי של מספר מסוים מתוך מספר מסוים
- איך לחשב מהו הערך המספרי של אחוז מסוים מתוך מספר מסוים
- איך לחשב ממוצע פשוט
- איך לחשב חציון פשוט בסט ספרות אי-זוגי (מציאת הספרה האמצעית)
- איך לחשב חציון פשוט בסט ספרות זוגי (חיבור שתי הספרות האמצעיות וחילוקן ב-2)
- הכרות ראשונית עם מושג ציר (axis)
- מושג החזקה (בחינה אלמנטרית במספרים קטנים ביותר, בסיס, מעריך, הספרה 0, הספרה 1, פעולות קטנות, בראשון, בשני, בשלישי, מינוח)
- גאומטריה אלמנטרית 1: מושג הנקודה כישות אלמנטרית במישור (בדומה לחלקיק אלמנטרי במרחב) שהיא נטולת רוחב ואורך ; ניתן להשתמש בנקודות ליצירת קטעים כמו קו ישר
- גאומטריה אלמנטרית 2: צורות חד מימדיות ודו מימדיות ← קו ישר, צלע במישור, עקום פתוח, עקום סגור, קטע פתוח, קטע סגור, משולש, ריבוע, מלבן, מרובע, מחומש, משושה, משובע, מתומן, מתושע, מעושר, מצולע, קודקוד כנקודה של קטע ; רכיבי המעגל
- גאומטריה אלמנטרית 3: מישור ונקודות לעומת לוח משובץ ומשבצות
- גאומטריה אלמנטרית 4: רוחב ואורך לעומת עומק
- גאומטריה אלמנטרית 4: דיון על מה היא נקודה - אפשר לראות בנקודה ריבוע מנוון שכל קודקודיו שווים זה לזה ; אפשר לראות בנקודה מעגל בעל רדיוס אפס ; נקודות אי אפשר להקיף ; האפשרות לאין סוף נקודות בין כל שתי נקודות
- גאומטריה אלמנטרית 5: צורות תלת מימדיות ; ניתן להוסיף גם את מושג דו-וחצי-מימדי (נושא בגרפיקה ממוחשבת שמפתח חשיבה על צורות דו מימדיות)
- המונחים מאונך ומאוזן עם דוגמאות תמונתיות פשוטות
- שיטות למציאת מכנה משותף קטן ביותר בשברים
כיום נהוג ללמד חלק מנושאים אלה עם שימוש במחשבון.
רכיבי המעגל
מעגל (באנגלית: Circle) הוא קטע המקיף עיגול[1]; כלומר, הוא גבול תחום העיגול.
היקף המעגל[2] הוא אורך המעגל, כאילו המעגל היה נפתח ונמתח כקו ישר והוא עשוי קטע אחד של נקודות שמרחק כל אחת מהן מן הנקודה הפנימית המרכזית של המעגל ← שווה.
בעיגול מספר קטעים פנימיים:
- נקודה פנימית מרכזית (מרכז)
- קוטר[3]: כל קטע הנפרש ממרכז המעגל אל היקף המעגל
- מיתר[4]: כל קטע הנפרש מנקודת מעגל מסוימת אחת לנקודת מעגל מסוימת אחרת, בתוך העיגול
- רדיוס[5]: כל קטע הנפרש ממרכז המעגל לכיוון אחת מנקודותיו ובאופן כללי גודלו כחמצית הקוטר
אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, הוא נקרא "משיק" למעגל (משיק נמצא מחוץ למעגל)[6].
עובי מעגל הוא למעשה טבעת[7] המתקבלת מחיסור שטח עיגול קטן משטח עיגול גדול בעל אותה נקודת מרכז, אם כי עובי מעגל אינו מונח פורמלי.
הערות כלליות
- בתורת הקשרים, מעגל מכונה גם Unknot
- מעגל ועיגול אינם כדור[8]; הם צורות דו-מימדיות בעוד שכדור הוא צורה תלת-מימדית
- בכל הנוגע למעגלים ואליפסות ההיקף נקרא גם Circumference
- ניתן להכליל מעגל כעקום סגור (Closed Curve) אשר נפרש סביב מרכז
- ניתן לפצל כל מעגל לשני חצאים שווים ולכן נאמר שהוא צורה סימטרית
מתמטיקה בסיסית
מתמטיקה בסיסית מבוססת על המתמטיקה היסודית. מה נכלל בה מוגדר פחות טוב מאשר במתמטיקה יסודית, אם כי ניתן לכלול בה:
- אותיות ביוונית
- עצרת פשוטה
- מספרים שליליים וחוקי עבודה עימם
- מושג נוסחה מתמטית (מאפיין של מושג אלגוריתם)
- מושג שקלול
- הכרות עם מושג שיטות ארגון מספרים שאינם השיטה העשרונית ← בעיקר שיטת מנייה בינארית
- הכרות עם מושג יחידות מידה: רוחב, אורך, שטח, שיטה מטרית ושיטה אמפריאלית
- המרת יחידות (ממטר למייל, מצלזיוס לקלווין וכן הלאה)
- הבנת המונחים פרמטר, משתנה וערך
- הבנת שימוש באופרטורים לוגיים ואופרנדים לוגיים לכדי יצירת מבנים שפתיים בעלי משמעות; אופרציות (פעולות מוגדרות היטב)
- הכרת מושג ה set והכרת מושג ה group בלוגיקה פורמלית וההבדל ביניהם, כולל המושגים הכלה, עוצמה, איחוד וחיתוך
- הבנה כי ישנם סטים שונים של מספרים: מחוץ למעבדה מדעית בדרך כלל נעבוד עם מספרים ממשיים בכלל ומספרים שלמים וטבעיים בפרט אך ייתכנו עוד קבוצות מספרים הנדרשות למדע והנדסה (אך לא בהכרח לפיתוח תוכנה)
- משוואות פשוטות בנעלם אחד ובשני נעלמים
- שורש
סטטיסטיקה בסיסית תכלול למשל נוסחאות חציון שונות (בדיד-גולמי, רציף-גולמי, בדיד-טבלה, רציף-טבלה) וכן מדדי פיזור כגון טווח, שונות, וסטיית תקן כמו גם מתאם ספירמן.
חישוב מתמטי אלמנטרי מנטלי
מה צריך ללמד ילדים לפני שמלמדים אותם מתמטיקה אלמנטרית
לפני שמלמדים ילדים מה זה מתמטיקה אלמנטרית צריך ללמד אותם במילים ובהגדרות מילוליות פשוטות מה זה ימין ומה זה שמאל, מה זה למעלה ומה זה למטה, מה זה קדמי, אחורי וצדדי ואפשר גם לנסות ללמד אותם מה זה משהו "אופקי" ומה זה משהו "אנכי". כמו כן יש ללמדם מה זה שלם ומה זה חצי. ללמד את הילד על מבנה הגוף האנושי (מה זה ראש, מה זה שאר הגוף, מה זה עין, מה זה אוזן, מה זה אף, מה זה פה וכו'), מה נמצא מעל מה, מתחת למה, מה נמצא מאיזה צד למה ושהגוף "סימטרי" (דומה במבנהו) מימין ומשמאל אבל לא מלמעלה למטה או ההפך וכדומה יסייע לפתח חשיבה מרחבית וייתכן שללמד ילד לקשור שרוכי נעליים לפחות בדרך אחת יסייע לילד לפתח חשיבה מרחבית. שימוש במראה יכול לסייע לילד להבין מה ההבדל בין שיקוף (flip) לבין סיבוב (rotation).
איך ללמד ילדים מתמטיקה אם הם לא מצליחים במתמטיקה
השאלה איך ללמד ילדים מתמטיקה אם הם לא מצליחים במתמטיקה עולה בקרב הורים שילדיהם לומדים מתמטיקה בבית ספר אך לפי מורים "מתקשים" או "לא מצליחים".
כשהיסודות (הלימודיים) חזקים הבניין (המתמטי) חזק, במיוחד אם היסודות הונחו על אדמה טובה (בגיל הנכון).
ייתכן שהדרך בה מתמטיקה מלומדת בבתי ספר בישראל איננה שוויונית ואיננה מדגישה מספיק את היסודות בתקופות קריטיות ורגישות של התפתחות הילד והבעיה היא עמוקה הרבה יותר בתרבות הישראלית שחוסר הגינות ופיזור שווה של משאבים חינוכיים וציבוריים זה עיקרון יסוד בה. מוצעים סעיפים אלה:
- תשתדלו לא לא לסמוך על מורים חומרניים חסרי תחושת שליחות בכלל ונסו ללמד את ילדכם כמה שרק תוכלו בעצמכם לאחר קריאת ספר מבוא אחד לפחות על הוראת מתמטיקה אלמנטרית (לילדים ביסודי) כמו הספר "חשבון להורים" של פרופסור רון אהרוני מהטכניון בחיפה
- אם כבר לקחת מורה פרטי, אל תיקחו נערים ונערות לא מנוסים ואל תיקחו סטודנטים מתלהבים שמחפשים להשוויץ בידע לכל עבר
- אם כבר לקחת מורה פרטי, יש לוודא שהוא ל"מתמטיקה" ולא ל"מדעים" (כללית) תיקחו לילדיכם רק מורה פרטי שיש לו ניסיון בהוראת מתמטיקה למבוגרים כי דווקא מי שמוכן ללמד מתמטיקה למבוגרים אולי יהיה סבלני יותר עם ילדים
- אם כבר לקחת מורה פרטי, קחו אחד שיצהיר לפניכם שהוא לא יהיה סרקסטי עם הילד\ה, שהוא ידבר רק על נושא הלימוד ושהוא מכבד את העיקרון לפיו הלימוד יתבצע רק לידכם מטעמי פיקוח כלליים (יש לא מעט סוטי מין שיכולים לגרום טראומה לילד או סתם חסרי סבלנות ומתנשאים שלא רק שלא יאמינו בילד ורק ירצו כסף אלא ישפילו ילד ויגרמו לו לפקפק ביכולתו ללמוד מתמטיקה ולכן עדיף שבכל מקרה השיעור יתבצע רק בהשגת מבוגר ואם משהו לא הגיוני או הרסני מתרחש להפסיק את ההתקשרות מיד)
- גם אם הילד כבר נער, עדיין שווה ללמדו את יסודות המתמטיקה אם לא למד אותם מספיק בעברם, אם ילד לא מצליח לפתור משוואות, יש לחזור למתמטיקה אלמנטרית ולחזק אותו שם ורק אז לגשת לשאר; ייתכן ויש טעם לתת תמריץ פסיכולוגי לילדים על למידה ושבעתיד ילמדו על תחומים מורכבים יותר (מתי שהדבר יתגמל אותם)
הערות כלליות
- לגבי לימודי עבודה בפיתוח תוכנה אלמנטרי רצוי מאד לרכוש גם ידע אלמנטרי בתחום חשמל שכן קוד תוכנה יכול להשפיע ישירות על מצביות חשמלית במערכת מחשב
ביבליוגרפיה
- חשבון להורים - ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, מאת פרופסור רון אהרוני, הוצאת שוקן, 2004. תורגם לאנגלית, פורטוגזית, ספרדית, הונגרית והולנדית.